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キャロルのマジック [味村ノート]

ひまわり.jpg今回の味村ノートはフィボナッチ数列を使ったパズルです。暑さで疲れた脳を少しゆったりさせてください。

◇ フィボナッチ数列

[フィボナッチ数列]は、草木の枝分かれ、花びらの枚数、ひまわりやたんぽぽの種の配列、などの植物を始め、身の回りのいろいろな部分で大切な要素となっています。Web上にも多くの情報がありますし、この味村ノートでも別の機会に触れる予定です。
この数列は、F0=0, F1=1, Fn+2=Fn+Fn+1で表され、具体的には、[0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233・・・・]と続く数列です。具体例からも分かる通り、最初の二項は0,1、以後どの項もその前の2つの項の和となります。面倒な話はされおいて、ここでは、そういった数列があることだけをご承知ください。

キャロル_01_1.jpg◇ キャロル(L.Carroll)のマジック
  1. 一辺がフィボナッチ数列のある値、例えば[8]の正方形を、その値の直前の2つのフィボナッチ数列の値、[5]と[3]とにより、右の図のように4つの部分に分ける。
  2. 次に、これらを切り離して、下の図のよう長辺[13]、短辺[5]の長方形に並べ替える。
  3. 元の正方形の面積は 8×8=64 だが、並べ替えた長方形の面積は 13×5=65 で、[1]増えている。

キャロル_01_2.jpg

キャロル_02.jpg
  1. 上例の [8]→[13]、[5]→[8]、[3]→[5]とフィボナッチ数列の値を1つずつ大きい値に置き換えると、元の正方形の面積は 13×13=169 だが、並べ替えた長方形の面積ば 21×8=168 となって、こんどは[1]減る。
  2. さて、[1]はどうして増減したのか?



 
◇ 増えた[1] の正体

切り離し置き替えたことで面積が[1]増えた 8×8 の正方形の場合について見てみましょう。
前述の通り、8×8 の正方形の中に作成された図形A,B,C,Dを切り離し置き替え、13×5 の長方形が作成されますが、
よく見ると、図形A,B,C,Dに囲まれた細長い隙間(赤色部)があることが分かります。このままでは隙間が確認しにくいので、隙間部分をデフォルメしたものが下図下段です。
キャロル_03.jpg

  1. tanα=3/8=0.375でα=20°36′。また、tanβ=2/5=0.4でβ=21°48′。
  2. α<βだから、P、Q、R、Sは一直線上になく、極端に描くと上図下段のようたなり、隙間(PQRSは極端に細い平行四辺形)ができる。
  3. 三角形Bで、h:3=5:8だから、h=15/8=1.875。
  4. 本来、hは[2]なければならないから 2-l.875=0.125 足りない。つまり、ここでの隙間の巾は[0.125]。1マスを1cmとすると1mm余りだから、図で確認することはなかなか難しい。
  5. △PSTの面積は 5×13÷2=32.5。
  6. 三角形Aと四角形Cとの面積は、それぞれ 3×8÷2=12 と (3+5)×5÷2=20 とで、両方合わせて 12+20=32。だから、隙間の下半分は 32.5-32=0.5 になる。
  7. 同様に、上半分も[0.5]になるから、隙間全体では 0.5×2=1 となる。
    これが増えた[1]の正体というわけ。

    13×13の正方形のケースでは、
    隙間ではなく重なりができ、この部分が消えた[1]の正体となる。 説明図はこちら
◇ 本稿は次の文献を参考にした。
キャロル(L.Carroll)のマジック[M.E.Lines:Numbers at Work and at Play, 1987,(翻訳:片山孝次訳:数、数、・・・、岩波書店、1989)]


[目]

アリスS.jpgルイス・キャロル(Lewis Carroll:1832~98)は、「不思議の国のアリス」(1865)の作家として知られています。本名はチャールズ・ラトウィッジ・ダッジソン(Charles Lutwidge Dodgson)で、オックフォード大クライスト・チャーチ・カレッジの数学講師で、論理学者、写真家、詩人でもある多才な人です。

この「キャロル(L.Carroll)のマジック」は「黄金分割と数列の話」、フィボナッチ数列と黄金分割について書かれた味村ノートの一文からの抜粋編集をしたものです。従って文責はGPA talksにあります。

折しも、著名らしい政治学者が、「代数は何の役にも立たない。そして多くの生徒が代数のために退学していく」と、ニューヨーク・タイムズに意見発表されたそうです。もっとも間接的な紹介記事を見ただけなので、発言者の真意は分かりません。「日本の政治家や官僚の多くがお粗末なのは、代数的、それも極めて初歩的な代数的思考が欠落しているからだ」、 密かにそう決め付けている私としては、どうも合点がいきません。
  元となる記事の電子版はアカウントを作れば見る(読む?)ことができます。
   Is Algebra Necessary?
   いずれもリンクは2012/08/21現在

[いす]
〇 サブカテゴリ[味村ノート]については→こちら味村重臣 
〇 イラスト・写真は下記のURLの素材を使わせていただきました
  Lenny's Alice in Wonderland site
   http://www.alice-in-wonderland.net/
  .f pro.foto
   http://pro.foto.ne.jp/
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